Arduino

Arduino
un arduino es una compañia de hardware libre y una comunidad tecnologia que diseña y manufactura placas computadoras de desarrollo de hardware y software compuesta respectivamente por circuitos impresos que integran un microcontrolador y un entorno de desarrollo de donde se programa cada placa .
Arduino se enfoca en acercar y facilitar el uso de la electronica y programacion de sistemas enbebidos en proyectos multidisciplinarios de toda la plataforma tanto como para su componente de hardware como de software, son liberados con licencia de codigo abierto que permite la libertad de acceso a ellos .
Esto mas que todo es una placa base que sirve para dar soporte a los dispositivos ya sean en robots u objetos .

Impresoras 3D

La impresora 3D es aquella que permite crear o imprimir aquellas piezas que conforman un dispositivo de arduino cada pieza tarda de media hora a hasta 3 horas dependiendo del tamaño primeramente esta conformada por una placa base que sirve de soporte y funcionamineto de esta, se encuntra compuesta por sensores y motores asi dandole potencia y los pulsos segun lo programado de la pieza .

Alumno y estudiante

Diferencia entre alumno y estudiante 

Un estudiante es una persona que estudia independientemente de si y es autodidacta o si tiene un profesor,mirntras que un alumno es un discipulo respecto a su maestro de la materia que esta aprendiendo algo de la escuela colegio o universidad que necesita un guia.

Relaciones

Tema  #3                             Relaciones 

se habla de relación cuando dos objetos tienen relación entre ellos, en geometría se trata de relaciones de congruencia y de semejanza; en áljebra,de relaciones de igualdad o desigualdad numérica; en teoría de conjuntos, de relaciones de pertenencia y de inclusión. por esto, es necesario formular la noción general de relaciones entre objetos.

R es una relación de A en B ↔ p⊂AxB

Ejemplo:

sea A={1,2,3}
      B={a,b,c}
      R1,R2,R3 de AxB
      AxB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}
      R1={(1,a)}
      R2={(1,b),(1,c)}
      R3={(2,b),(3,b),(3,c)}

_Dominio,Imagen y Relación inversa

si R es un subconjunto del producto cartesiano AxB, es una relacion de A en B, existen dos importantes conjuntos asociados de esta relación dominio e imagen de R

_Dominio

el dominio de R que se escribe D(R) es el conjunto de los elementos de A que están relacionados con algún elemento del conjunto, en otras palabras el dominio de R es un subconjunto de A y es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados que pertenecen a R, es decir:

D(R)= {x/(x,y)∊ R}

_Imagen

(rango o recorrido de R) que se escribe I(R) es el conjunto de los elementos de B que son los segundos elementos de dos pares ordenados x,y que pertenecen a R en otras palabras es todo los elementos de B que están relacionados con todos los elementos de A

I(R)= {y,(x,y)єR}

_Relación inversa

en la relación de R,A y B es la relación de R´ de B en A se detienen de R´ {(y,x)/(x,y)∈R

_Composición de relaciones 

sea R una relación de A en B y S una relación de B en C

R⊂(AxB) S⊂BxC

la composición de una relación se puede definir de A en C como composición de R y S mediante:

SoR={(x,z)/∃y∈BΛ(x,y)∊R∧(y,z)∈S}

(x,z)∊SoR↔∃y∈B∧(x,y)∈R∧(y,z)∊S}


_Propiedades Relación inversa de una composición

(SoR)´=R´oS´

_Definición de composición 

(SoR)(x)=S[R(X)]

(1,2)=S[R(1)]=S(2)=∌

_Relación definidas de un conjunto

AxA=A²

R⊂AxA

_Relaciones en RxR (plano cartesiano)

R,⊂RxR

sea R una relación definida en A estas relaciones generalmente satisfacen ciertas propiedades que pondremos a continuación:

_Relaciones reflexivas 

una relación R definido en un conjunto A se denomina reflexiva si cada elemento x del conjunto A esta relacionado consigo mismo 

 sea R⊂A² / (x,y)∈xRy

R es reflexiva ↔∀x,∊A⇾xRy



_Relaciones simetricas

una relación en un conjunto A es simétrica si cualquiera que sea el par ordenado (x,y) que pertenece a la relación entonces el par ordenado (y,x) también pertenece a la relación

R es simetrica ↔ ∀x,∀y∊A,xRy ➝yRx




_Relaciones transitivas

una relación R definido en un conjunto A es transitiva si cualquiera que sean los pares ordenado (x,y) y (y,z) que pertenecen a las relación entonces el par ordenado (x,z) también pertenece a la relación

∀x,∀y,∀z: xRy∧yRz￫xRz


_Relaciones de equivalencia

una relación R en un conjunto A es de equivalencia sin es reflexiva, simétrica y transitiva. En otras palabras si cumple las anteriores 3 mencionadas.

Conjuntos

Tema  #2                                                   CONJUNTOS 

Empleamos el vocablo de conjuntos para referirnos a un objeto que se encuentra agrupado formando un todo, de esta noción de pluralidad contrapuesta a la singularidad ha sugerido el concepto matemático de conjunto.

para poder expresar los elementos que pertenecen a un conjunto se emplean las letras minúsculas a,b,c, y para denotar a los conjuntos las letras mayúsculas:

"/" para expresar " tal que "

"∈" pertenece a un conjunto

"<" para expresar menor que

">"para expresar mayor que 

キ diferente 

_Notación de conjuntos 

Naturales N= {1,2,3....}

Enteros  Z={....-2,-1,0,1,2,3}

Racionales Q={2,0,5,2/3,0,6}

Irracionales Q´={ㅠ,√2,....}

Reales R= NUZUQUQ´

Imaginario ㅍ{i,0,√-b....}

Complejos C=  RUㅍ

_Diagrama de Venn

_Diagrama de un conjunto 

los conjuntos se pueden determinar de dos maneras:

Por extensión:                                                                                                                                

se dice que un conjunto esta 

determinado por extensión 

si y solamente si se nombra 

a todos los elementos que 

constituyen dicho conjunto 

(se escribe todos los 

elementos del conjunto)

Ejemplo:

A={1,2,3,4,5}

B={a,e,i,o,u}

C={a,e,o}

Por comprensión:

un conjunto esta determinado 

por comprensión cuando existe

 una propiedad que caracteriza 

a todos los elementos de un 

conjunto

Ejemplo:

A={x∊N/x<6}

B={x/x es vocal}

C={x/x es vocal fuerte}

Ejemplos:

Por extensión= {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,ñ,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}
Por comprensión= {letras del abecedario} 
 
Por extensión= {lunes,martes,miércoles,jueves,viernes,sábado,domingo}
Por comprensión= {días de la semana} 

Por extensión= {do,re,mi,fa,sol,la,si} 
Por comprensión= {notas musicales} 

Por extensión= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
Por comprensión= {digitos} 

Por extensión 
{enero,febrero,marzo,abril,mayo,junio,... }
Por comprensión= {meses del año }

_Conjuntos especiales

se llaman conjuntos especiales aquellos conjuntos que se caracterizan por el numero de elementos que compone dicho conjunto: conjunto unitario,vacio,universal.

1)conjunto unitario: 

es aquel conjunto que se caracteriza por tener un solo elemento

Ejemplo:

A={x∊N/х2-4=0}={2}

B={x∈Z/x3=0}={0}

_Conjunto Vacio

es aquel conjunto que se caracteriza por no tener elementos 

A={x⋲N/x2+5x+6=0}={}

B={x⋲R/x2+4=0}={}

_Conjunto universal

es un conjunto del que a partir de un elemento se puede formar otro subconjunto

Ejemplo:

U={x∊N/x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A={x∊U/2x2-5x+3=0}={1}

B={x∊U/x es primo}={1,2,3,4,5}

Relación de conjuntos

_Inclusión de conjuntos

sea A y B dos conjuntos de un mismo universo. se dice que A está incluido en B, o que A,es un subconjunto de B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B; se denota por A⊂B, que se lee " A esta incluido en B" o bien "B esta incluido en A" o bien " A es un subconjunto de B"

En símbolos

A⊂B⇿ұx:x∊A⇾x∊B

_Igualdad de conjuntos

se dice que A y B no son iguales si A es un conjunto de B y B es un conjunto de A es decir; si ambos conjuntos estan formadas por los mismos elementos

A=B↔ A⊂B ∧ B⊂A

_Conjuntos de partes

se entiende por conjunto por parte de A el conjunto formado por todos lo0s subconjuntos de A, y se denota por: p(a)

Operaciones entre conjuntos 

_Unión de conjuntos

dados dos conjuntos de A y B, se llama unión de A y B, al conjunto formado por todos los elementos de A o de B. se denota por AUB.

En símbolos

AUB={x/x∊A ν x∊B}

Es decir

x∊(AUB) ↔ x∊A ν x∊B

_Intersección de conjunto

sean A y B dos conjuntos definidos en un universo se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto de A y al conjuntos de B 

En símbolos 

A⋂B={x/x∊A ៱ x∊B}

x∊(A៱B)↔ x∊A៱ A∊B

_Complemento de un conjunto

sea A un conjunto definido en un universo U el complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen al conjunto  A

En símbolos 

_Diferencia de conjuntos

sean dos conjuntos de A y B definidos en un universo la diferencia de conjuntos de A-B es el conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B

En símbolos

A-B

A-B={x/x∈A∧x∉B}

_Diferencia simétrica de un conjunto

sean dos conjuntos definidos en un universo la diferencia simétrica entre dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos formados que pertenecen al conjunto A y B, pero no a ambos conjuntos. se denota por :

En símbolos

A∆B=(A-B)U(B-A)

 A-B=(A∩B^∁ )U(B∩A^∁)

_Cardinalidad de conjuntos

sea A un conjunto finito en un universo U llamamos cardinalidad el número de elementos del conjunto A y se denota por: n(a)

_Producto cartesiano

el producto cartesiano de los conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados (x,y) donde la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente pertenece a B

En símbolos 

AxB={(x,y)/x∈A៱ y∈B}

Números Amigos

Números Amigos

Dos números amigos son dos números enteros positivos a y b tales que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro número y viceversa, es decir σ(a)=b y σ(b)=a, donde σ(n) es igual a la suma de los divisores de n, sin incluir a n. (La unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número.).

Un ejemplo es el par de naturales (220, 284), ya que:

• los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284;
• los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe entonces el nombre de número perfecto.

Número Capicúa

Número Capicúa

La palabra capicúa (del catalán cap i cua, «cabeza y cola») (en matemáticas, número palindromo) se refiere a cualquier número que se lee igual de izquierda a derecha que derecha a izquierda. Ejemplos: 161, 2992, 3003, 2882,22.

Números Primos

Números primos

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499. 

Origen de los Números

  ORIGEN DE LOS NÚMEROS 

la utilización de los números como tal se remontan desde hace 400.000 años,siempre con el uso de los dedos de las manos como origen y en los primeros pueblos primitivos.todo empezó debido a que estos pueblos primitivos necesitaban saber cuantas cabezas de ganados tenían y en el cultivo de la tierra también,en este tiempo lo hacían marcando en troncos,nudos,piedras entre otros artefactos.

con el paso del tiempo necesitaron representar números cada vez mayores y tuvieron que inventar símbolos adecuados. los primeros sistemas de numeración estaban basados en la yuxtaposición, es decir ir colocando los símbolos uno a continuación del otro.los romanos por ejemplo empleaban un conjunto de siete símbolos.

el sistema romano todavía es utilizado, claro que en las fechas de monumentos para escribir los siglos etc. el sistema de numeración actual fue inventado por los hindúes en el siglo ll. los árabes lo introdujeron en Europa a través de España y desde allí se extendió por todo el mundo.

la cultura hindú fue muy fuerte en matemáticas y astronomía durante muchos siglos ( de hecho sigue siendo) y necesitaban una manera cómoda se podría decir para poder escribir los resultados. por ellos desarrollaron una simbología numérica que data del año 800 d.c.

poco años mas tarde aproximadamente el famoso matemático al-khwarizmi introdujo esta notación en el mundo científico árabe en su obra "sobre el calculo de numerales hindúes ".gracias a él se empezó a utilizar este sistema en la cultura árabe y sobre el año 900 su escritura se había desarrollado.

aproximadamente en el año 1000 llegó el turno de lo que hoy es España y en aquellas época era alándalus, que fue la puerta de entrada al continente Europeo de todas las innovaciones científicas provenientes del mundo árabe. la evolución de los números en esta región fue de poca mezcla de las dos anteriores.

y por ultimo,ya en el siglo xv ,la cercanía de los países árabes con italia y la creciente red comercial establecida entre ellos, hizo que fuera necesario llevar una contabilidad lo mas establecida posible,por lo que en Italia se adoptaron  los números árabes de la época.

por lo tanto,como hemos podido ver,nuestros numeros no tienen nada parecido con los ángulos ni con nada parecido, son solamente la evolución de la escritura de unos símbolos establecidos en la india.

Caratula

Materia: Estructuras Discretas
Docente: Ing. Gustavo Tantani

_tipo de materia por competencia



contenido:
1. Lógica Matemática
2. Conjuntos
3. Relaciones de Conjuntos y Cartesianos
4. Funciones en RxR
5. Combinatoria
6. Inducción Completa

BibliografÍa:_ Aljebra discreta "Sebastian Lazo"
_ Aljebra 1 "Pedro Gutierrez"
_ Matematica Discreta "Armando Rojo"
_ Google

ALUMNO:
Steven Escobar Castedo

Materia:
ingeniería en sistemas

Lógica

Tema #1

_Lógica

Es la disciplina encargada de ver los diferentes tipos de razonamientos que ofrece diferentes formas de leyes para determinar si es V o F.

Una de las metas fundamentales de la lógica es eliminar la Ambigüedad de un lenguaje ordinario, introduciendo simbolos y conectivos lógicos en la constitución de posiciones. dado que las proposiciones son la base del razonamiento lógico que consiste en decidir la validez de una idea en base a un enunciado que previamente fueron aceptados.

Ambigüedad---> Algo que tienen doble sentido

_Objetivo de la lógica

-lenguaje claro y preciso

-razonamientos correctos

_Proposiciones 

Es toda oración o enunciado respecto del cual se puede definir si es verdadero o falso pero no ambos a la vez,Es decir toda proposición esta asociada a un valor de verdad lo cual puede ser verdadero o falso.

Así una proposición es verdadera si se dice que su valor de verdad es V, y es falso si su valor de verdad es F.

_Nota: 

una proposición es una oración que tiene un solo valor de verdad en el transcurso del tiempo, o cualquiera sea el lugar de donde se este utilizando dicha proposición.

Ejemplo:

_Los gatos hablan                                                                             si es proposición

_Mañana sale el sol                                                                           si es proposición

_Cual es tu nombre                                                                            no es proposición

_5+4= 8                                                                                              si es proposición

_El ser humano es el arquitecto de su propio destino                        si es proposición

_El sol es cuadrado                                                                            si es proposición                          

_Que hora es                                                                                      no es proposición

_Que belleza!                                                                                      no es proposcisión

_Los perros ladran                                                                              si es proposición

_conectivos lógicos 

A las proposiciones simples o genéricas (atómicas) se acostumbran denotar por las letras p,q,r....

Ejemplo:   

p: "Los gatos hablan"                                                                     F

       ~p: V

q:"la tierra es esférica"                                                                   V

       ~q: F

A partir de proposiciones simples se pueden generar otras proposiciones simples o compuestas utilizando ciertas constantes proposicionales llamados conectivos lógicos tales como el conectivo no.

no, en símbolo      "~"

y, en símbolo        "∧"

o, en símbolo        "V" 

si entonces,          "➞"     

si solo si,             "⟷"

o excluyente,         "⊻"

_Operaciones proposicionales 

Dada una o dos proposiciones cuyo valor de verdad se conoce,las operaciones entre proposiciones tratan de generar otras proposiciones y caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad, estas son la negación,conjunción,disyunción,implicación ,doble implicación y disyunción excluyente.

_Negación

Sea una proposición p se llama negación de p a la proposición que se obtiene uniendo el conectivo "no". se denota en símbolos por "~p".

                           _Tabla de verdad

p	q
V F	F V

Ejemplo: 

p: "Los gatos hablan"        F                ∼ p: "Los gatos no hablan"               V

q:                     V                 ∼q:"≠"                           F

_Conjunción

se llama conjunción de p y q a la proposición que se obtiene por medio del conectivo y, se escribe   "ʌ" .

         

p	ʌ	q
V V F F	V F F F	V F V F

_Nota:

el valor de verdad de la conjunción es verdadero si ambos valores de verdad son verdaderos, caso contrario es F.

Ejemplo:

p:"juan es orientista"

q:"pedro es orientista"

p∧q:"juan y pedro son orientistas"

_Disyunción 

la disyunción de dos proposiciones p y q se llama a la proposición que se obtiene uniendo promedio del conectivo o, se escribe "V".

p	V	q
V V F F	V V V F	V F V F

_Nota: 

solo es falso si los dos son falso, caso contrario es verdadero

Ejemplo:

p:"juan es orientista"

q:"juan es bloominista"

pVq: "juan es orientista o bloominista"

_Implicación

Se llama implicaciones de dos proposiciones p y q a la proposición que se obtiene uniendolas por medio del conectivo "si entonces" se escribe p➞q y se lee " si p entonces q", donde p es el antecedente y q el consecuente.

p	➞	q
V V F F	V F V V	V F V F

_Nota: 

El valor de verdad de la implicación de p y q es falso si el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

_definición de implicación

     p➞q ≡ ∽pνq

_Doble Implicación o Bicondicional

Se llama doble implicación o Bicondicional de dos proposiciones p y q a la proposición que se obtiene uniendolas por medio del conectivo "si solo si", se escribe p➞q y se lee " p si solo q".

p	↔	q
V V F F	V F F V	V F V F

_Nota:

el valor de verdad de la doble implicación entre p y q es verdadero si ambos tienen el mismo valor de verdad caso contrario es falso.

_Definición de Doble Implicación

     p↔q ≡ (p⇢) ∧ (q⇢p)

_Disyunción Exclusiva

se llama disyunción exclusiva de dos proposiciones p y q a las proposiciones que se obtiene uniendolas por el conectivo o excluyente, se escribe "p⊻q", se lee"p excluye a q".

p	⊻	q
V V F F	F V V F	V F V F

_Nota:

el valor de verdad de la disyunción exclusiva entre p y q es verdadera si los valores de verdad son diferentes (opuestos), caso contrario es falso.

_Definición de disyunción excluyente

     p ⊻q ≡ ∽(p↔q)

_Formulas proposicionales

una formula proposicional es una combinación de proposiciones y conectivos lógicos que simboliza una proposición compuesta o molecular.

а) [p⇾(q v r)] ↔[(pvq) ៱r]

b) (p⟶q) ⇾r

_Tabla de valores de verdad 

el valor de verdad de una formula proposiciónal diferente de los valores de verdad de la proposiciones simples que la componen.

es decir se debe analizar todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones que la componen las cuales se dan en las primeras columnas, por tanto si en una formula proposicional intervienen "n" proposiciones el numero de proposiciones para la tabla de valor de verdad se calcula con 2 elevado a la "n".

  (p⇾q) v (∼pvr)

p ∼p	q	r	(p⇾q)	v		(∼pvr)
V   F	V	V	V	V		V
V   F	V	F	V	V		F
V   F	F	V	F	V		V
V   F	F	F	F	F		F
F   V	V	V	V	V		V
F   V	V	F	V	V		V
F   V	F	V	V	V		V
F   V	F	F	V		V	V

_Clasificación de formulas proposicionales

las formulas proposicionales se clasifican según el valor de verdad de su columna resultante como : tautología, contradicción y contingencia.

_Tautoligía

es una formula proposicional verdadera para cualquier proposición entrada de dicha formula proposicional.

_Contradicción

es una formula proposicional que es falso para cualquier combinación de entrada de dicha formula proposicional 

_Contingencia

es una formula proposicional que no es tautologia ni contradicción 

_Equivalencias lógicas 

dos formulas proposicionales son lógicamente equivalente si su tabla de verdad se expresan de la misma forma

(p⇾q)≡(∼p∨q)

p	q	p⇾q	∼p	∼p∨q)
V V F F	V F V F	V F V V	F F V V	V F V V

SON EQUIVALENTES

_Aljebra de Proposiciones

son operaciones lógicas que se realiza mediante proposiciones aplicando ciertas tablas básica llamadas leyes lógicas. Es decir como en aljebra básica donde la simplificación de expresiones aljebraicas es muy importante en lógica también existe la necesidad de simplificar formulas proposicionales complejas a través de ciertas equivalencias llamadas leyes lógicas.

_Circuitos lógicos

un circuito con interruptor puede estar abierto o cerrado cuando el interruptor esta abierto no permite el paso de corriente mientras que cuando esta cerrado si lo permite, si asociamos una proposición a cada interruptor, intuitivamente vemos en el aljebra de circuitos la V (verdad), de tal proposición indica que esta cerrado y F(falso), si esta abierto.

 
_Reglas de inferencia

se debe entender por inferencia lógica a un razonamiento en el que a partir de un conjunto de proposiciones llamadas premisas se obtiene un resultado llamado conclusión. un razonamiento es válido sí, y solamente sí, la conjunción de las premisas implica la conclusión, o la conclusión es consecuencia de las premisas. Es decir, si las premisas son todas verdaderas, entonces las conclusiones que se derivan de ellas lógicamente han de ser verdaderas,sin embargo,si una o más de las premisas es falsa,la conjunción de todas las premisas es falsa, por tanto, la conclusión puede ser verdadera o falsa.

_Tabla de Reglas de Inferencia

_Ejemplos