Conjuntos

Tema  #2                                                   CONJUNTOS 

Empleamos el vocablo de conjuntos para referirnos a un objeto que se encuentra agrupado formando un todo, de esta noción de pluralidad contrapuesta a la singularidad ha sugerido el concepto matemático de conjunto.

para poder expresar los elementos que pertenecen a un conjunto se emplean las letras minúsculas a,b,c, y para denotar a los conjuntos las letras mayúsculas:

"/" para expresar " tal que "

"∈" pertenece a un conjunto

"<" para expresar menor que

">"para expresar mayor que 

キ diferente 

_Notación de conjuntos 

Naturales N= {1,2,3....}

Enteros  Z={....-2,-1,0,1,2,3}

Racionales Q={2,0,5,2/3,0,6}

Irracionales Q´={ㅠ,√2,....}

Reales R= NUZUQUQ´

Imaginario ㅍ{i,0,√-b....}

Complejos C=  RUㅍ

_Diagrama de Venn

_Diagrama de un conjunto 

los conjuntos se pueden determinar de dos maneras:

Por extensión:                                                                                                                                

se dice que un conjunto esta 

determinado por extensión 

si y solamente si se nombra 

a todos los elementos que 

constituyen dicho conjunto 

(se escribe todos los 

elementos del conjunto)

Ejemplo:

A={1,2,3,4,5}

B={a,e,i,o,u}

C={a,e,o}

Por comprensión:

un conjunto esta determinado 

por comprensión cuando existe

 una propiedad que caracteriza 

a todos los elementos de un 

conjunto

Ejemplo:

A={x∊N/x<6}

B={x/x es vocal}

C={x/x es vocal fuerte}

Ejemplos:

Por extensión= {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,ñ,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}
Por comprensión= {letras del abecedario} 
 
Por extensión= {lunes,martes,miércoles,jueves,viernes,sábado,domingo}
Por comprensión= {días de la semana} 

Por extensión= {do,re,mi,fa,sol,la,si} 
Por comprensión= {notas musicales} 

Por extensión= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
Por comprensión= {digitos} 

Por extensión 
{enero,febrero,marzo,abril,mayo,junio,... }
Por comprensión= {meses del año }

_Conjuntos especiales

se llaman conjuntos especiales aquellos conjuntos que se caracterizan por el numero de elementos que compone dicho conjunto: conjunto unitario,vacio,universal.

1)conjunto unitario: 

es aquel conjunto que se caracteriza por tener un solo elemento

Ejemplo:

A={x∊N/х2-4=0}={2}

B={x∈Z/x3=0}={0}

_Conjunto Vacio

es aquel conjunto que se caracteriza por no tener elementos 

A={x⋲N/x2+5x+6=0}={}

B={x⋲R/x2+4=0}={}

_Conjunto universal

es un conjunto del que a partir de un elemento se puede formar otro subconjunto

Ejemplo:

U={x∊N/x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A={x∊U/2x2-5x+3=0}={1}

B={x∊U/x es primo}={1,2,3,4,5}

Relación de conjuntos

_Inclusión de conjuntos

sea A y B dos conjuntos de un mismo universo. se dice que A está incluido en B, o que A,es un subconjunto de B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B; se denota por A⊂B, que se lee " A esta incluido en B" o bien "B esta incluido en A" o bien " A es un subconjunto de B"

En símbolos

A⊂B⇿ұx:x∊A⇾x∊B

_Igualdad de conjuntos

se dice que A y B no son iguales si A es un conjunto de B y B es un conjunto de A es decir; si ambos conjuntos estan formadas por los mismos elementos

A=B↔ A⊂B ∧ B⊂A

_Conjuntos de partes

se entiende por conjunto por parte de A el conjunto formado por todos lo0s subconjuntos de A, y se denota por: p(a)

Operaciones entre conjuntos 

_Unión de conjuntos

dados dos conjuntos de A y B, se llama unión de A y B, al conjunto formado por todos los elementos de A o de B. se denota por AUB.

En símbolos

AUB={x/x∊A ν x∊B}

Es decir

x∊(AUB) ↔ x∊A ν x∊B

_Intersección de conjunto

sean A y B dos conjuntos definidos en un universo se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto de A y al conjuntos de B 

En símbolos 

A⋂B={x/x∊A ៱ x∊B}

x∊(A៱B)↔ x∊A៱ A∊B

_Complemento de un conjunto

sea A un conjunto definido en un universo U el complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen al conjunto  A

En símbolos 

_Diferencia de conjuntos

sean dos conjuntos de A y B definidos en un universo la diferencia de conjuntos de A-B es el conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B

En símbolos

A-B

A-B={x/x∈A∧x∉B}

_Diferencia simétrica de un conjunto

sean dos conjuntos definidos en un universo la diferencia simétrica entre dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos formados que pertenecen al conjunto A y B, pero no a ambos conjuntos. se denota por :

En símbolos

A∆B=(A-B)U(B-A)

 A-B=(A∩B^∁ )U(B∩A^∁)

_Cardinalidad de conjuntos

sea A un conjunto finito en un universo U llamamos cardinalidad el número de elementos del conjunto A y se denota por: n(a)

_Producto cartesiano

el producto cartesiano de los conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados (x,y) donde la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente pertenece a B

En símbolos 

AxB={(x,y)/x∈A៱ y∈B}