Alumno y estudiante

Diferencia entre alumno y estudiante 

Un estudiante es una persona que estudia independientemente de si y es autodidacta o si tiene un profesor,mirntras que un alumno es un discipulo respecto a su maestro de la materia que esta aprendiendo algo de la escuela colegio o universidad que necesita un guia.

Relaciones

Tema  #3                             Relaciones 

se habla de relación cuando dos objetos tienen relación entre ellos, en geometría se trata de relaciones de congruencia y de semejanza; en áljebra,de relaciones de igualdad o desigualdad numérica; en teoría de conjuntos, de relaciones de pertenencia y de inclusión. por esto, es necesario formular la noción general de relaciones entre objetos.

R es una relación de A en B ↔ p⊂AxB

Ejemplo:

sea A={1,2,3}
      B={a,b,c}
      R1,R2,R3 de AxB
      AxB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}
      R1={(1,a)}
      R2={(1,b),(1,c)}
      R3={(2,b),(3,b),(3,c)}

_Dominio,Imagen y Relación inversa

si R es un subconjunto del producto cartesiano AxB, es una relacion de A en B, existen dos importantes conjuntos asociados de esta relación dominio e imagen de R

_Dominio

el dominio de R que se escribe D(R) es el conjunto de los elementos de A que están relacionados con algún elemento del conjunto, en otras palabras el dominio de R es un subconjunto de A y es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados que pertenecen a R, es decir:

D(R)= {x/(x,y)∊ R}

_Imagen

(rango o recorrido de R) que se escribe I(R) es el conjunto de los elementos de B que son los segundos elementos de dos pares ordenados x,y que pertenecen a R en otras palabras es todo los elementos de B que están relacionados con todos los elementos de A

I(R)= {y,(x,y)єR}

_Relación inversa

en la relación de R,A y B es la relación de R´ de B en A se detienen de R´ {(y,x)/(x,y)∈R

_Composición de relaciones 

sea R una relación de A en B y S una relación de B en C

R⊂(AxB) S⊂BxC

la composición de una relación se puede definir de A en C como composición de R y S mediante:

SoR={(x,z)/∃y∈BΛ(x,y)∊R∧(y,z)∈S}

(x,z)∊SoR↔∃y∈B∧(x,y)∈R∧(y,z)∊S}


_Propiedades Relación inversa de una composición

(SoR)´=R´oS´

_Definición de composición 

(SoR)(x)=S[R(X)]

(1,2)=S[R(1)]=S(2)=∌

_Relación definidas de un conjunto

AxA=A²

R⊂AxA

_Relaciones en RxR (plano cartesiano)

R,⊂RxR

sea R una relación definida en A estas relaciones generalmente satisfacen ciertas propiedades que pondremos a continuación:

_Relaciones reflexivas 

una relación R definido en un conjunto A se denomina reflexiva si cada elemento x del conjunto A esta relacionado consigo mismo 

 sea R⊂A² / (x,y)∈xRy

R es reflexiva ↔∀x,∊A⇾xRy



_Relaciones simetricas

una relación en un conjunto A es simétrica si cualquiera que sea el par ordenado (x,y) que pertenece a la relación entonces el par ordenado (y,x) también pertenece a la relación

R es simetrica ↔ ∀x,∀y∊A,xRy ➝yRx




_Relaciones transitivas

una relación R definido en un conjunto A es transitiva si cualquiera que sean los pares ordenado (x,y) y (y,z) que pertenecen a las relación entonces el par ordenado (x,z) también pertenece a la relación

∀x,∀y,∀z: xRy∧yRz￫xRz


_Relaciones de equivalencia

una relación R en un conjunto A es de equivalencia sin es reflexiva, simétrica y transitiva. En otras palabras si cumple las anteriores 3 mencionadas.

Conjuntos

Tema  #2                                                   CONJUNTOS 

Empleamos el vocablo de conjuntos para referirnos a un objeto que se encuentra agrupado formando un todo, de esta noción de pluralidad contrapuesta a la singularidad ha sugerido el concepto matemático de conjunto.

para poder expresar los elementos que pertenecen a un conjunto se emplean las letras minúsculas a,b,c, y para denotar a los conjuntos las letras mayúsculas:

"/" para expresar " tal que "

"∈" pertenece a un conjunto

"<" para expresar menor que

">"para expresar mayor que 

キ diferente 

_Notación de conjuntos 

Naturales N= {1,2,3....}

Enteros  Z={....-2,-1,0,1,2,3}

Racionales Q={2,0,5,2/3,0,6}

Irracionales Q´={ㅠ,√2,....}

Reales R= NUZUQUQ´

Imaginario ㅍ{i,0,√-b....}

Complejos C=  RUㅍ

_Diagrama de Venn

_Diagrama de un conjunto 

los conjuntos se pueden determinar de dos maneras:

Por extensión:                                                                                                                                

se dice que un conjunto esta 

determinado por extensión 

si y solamente si se nombra 

a todos los elementos que 

constituyen dicho conjunto 

(se escribe todos los 

elementos del conjunto)

Ejemplo:

A={1,2,3,4,5}

B={a,e,i,o,u}

C={a,e,o}

Por comprensión:

un conjunto esta determinado 

por comprensión cuando existe

 una propiedad que caracteriza 

a todos los elementos de un 

conjunto

Ejemplo:

A={x∊N/x<6}

B={x/x es vocal}

C={x/x es vocal fuerte}

Ejemplos:

Por extensión= {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,ñ,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}
Por comprensión= {letras del abecedario} 
 
Por extensión= {lunes,martes,miércoles,jueves,viernes,sábado,domingo}
Por comprensión= {días de la semana} 

Por extensión= {do,re,mi,fa,sol,la,si} 
Por comprensión= {notas musicales} 

Por extensión= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
Por comprensión= {digitos} 

Por extensión 
{enero,febrero,marzo,abril,mayo,junio,... }
Por comprensión= {meses del año }

_Conjuntos especiales

se llaman conjuntos especiales aquellos conjuntos que se caracterizan por el numero de elementos que compone dicho conjunto: conjunto unitario,vacio,universal.

1)conjunto unitario: 

es aquel conjunto que se caracteriza por tener un solo elemento

Ejemplo:

A={x∊N/х2-4=0}={2}

B={x∈Z/x3=0}={0}

_Conjunto Vacio

es aquel conjunto que se caracteriza por no tener elementos 

A={x⋲N/x2+5x+6=0}={}

B={x⋲R/x2+4=0}={}

_Conjunto universal

es un conjunto del que a partir de un elemento se puede formar otro subconjunto

Ejemplo:

U={x∊N/x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A={x∊U/2x2-5x+3=0}={1}

B={x∊U/x es primo}={1,2,3,4,5}

Relación de conjuntos

_Inclusión de conjuntos

sea A y B dos conjuntos de un mismo universo. se dice que A está incluido en B, o que A,es un subconjunto de B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B; se denota por A⊂B, que se lee " A esta incluido en B" o bien "B esta incluido en A" o bien " A es un subconjunto de B"

En símbolos

A⊂B⇿ұx:x∊A⇾x∊B

_Igualdad de conjuntos

se dice que A y B no son iguales si A es un conjunto de B y B es un conjunto de A es decir; si ambos conjuntos estan formadas por los mismos elementos

A=B↔ A⊂B ∧ B⊂A

_Conjuntos de partes

se entiende por conjunto por parte de A el conjunto formado por todos lo0s subconjuntos de A, y se denota por: p(a)

Operaciones entre conjuntos 

_Unión de conjuntos

dados dos conjuntos de A y B, se llama unión de A y B, al conjunto formado por todos los elementos de A o de B. se denota por AUB.

En símbolos

AUB={x/x∊A ν x∊B}

Es decir

x∊(AUB) ↔ x∊A ν x∊B

_Intersección de conjunto

sean A y B dos conjuntos definidos en un universo se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto de A y al conjuntos de B 

En símbolos 

A⋂B={x/x∊A ៱ x∊B}

x∊(A៱B)↔ x∊A៱ A∊B

_Complemento de un conjunto

sea A un conjunto definido en un universo U el complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen al conjunto  A

En símbolos 

_Diferencia de conjuntos

sean dos conjuntos de A y B definidos en un universo la diferencia de conjuntos de A-B es el conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B

En símbolos

A-B

A-B={x/x∈A∧x∉B}

_Diferencia simétrica de un conjunto

sean dos conjuntos definidos en un universo la diferencia simétrica entre dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos formados que pertenecen al conjunto A y B, pero no a ambos conjuntos. se denota por :

En símbolos

A∆B=(A-B)U(B-A)

 A-B=(A∩B^∁ )U(B∩A^∁)

_Cardinalidad de conjuntos

sea A un conjunto finito en un universo U llamamos cardinalidad el número de elementos del conjunto A y se denota por: n(a)

_Producto cartesiano

el producto cartesiano de los conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados (x,y) donde la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente pertenece a B

En símbolos 

AxB={(x,y)/x∈A៱ y∈B}

Números Amigos

Números Amigos

Dos números amigos son dos números enteros positivos a y b tales que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro número y viceversa, es decir σ(a)=b y σ(b)=a, donde σ(n) es igual a la suma de los divisores de n, sin incluir a n. (La unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número.).

Un ejemplo es el par de naturales (220, 284), ya que:

• los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284;
• los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe entonces el nombre de número perfecto.

Número Capicúa

Número Capicúa

La palabra capicúa (del catalán cap i cua, «cabeza y cola») (en matemáticas, número palindromo) se refiere a cualquier número que se lee igual de izquierda a derecha que derecha a izquierda. Ejemplos: 161, 2992, 3003, 2882,22.

Números Primos

Números primos

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499. 

Origen de los Números

  ORIGEN DE LOS NÚMEROS 

la utilización de los números como tal se remontan desde hace 400.000 años,siempre con el uso de los dedos de las manos como origen y en los primeros pueblos primitivos.todo empezó debido a que estos pueblos primitivos necesitaban saber cuantas cabezas de ganados tenían y en el cultivo de la tierra también,en este tiempo lo hacían marcando en troncos,nudos,piedras entre otros artefactos.

con el paso del tiempo necesitaron representar números cada vez mayores y tuvieron que inventar símbolos adecuados. los primeros sistemas de numeración estaban basados en la yuxtaposición, es decir ir colocando los símbolos uno a continuación del otro.los romanos por ejemplo empleaban un conjunto de siete símbolos.

el sistema romano todavía es utilizado, claro que en las fechas de monumentos para escribir los siglos etc. el sistema de numeración actual fue inventado por los hindúes en el siglo ll. los árabes lo introdujeron en Europa a través de España y desde allí se extendió por todo el mundo.

la cultura hindú fue muy fuerte en matemáticas y astronomía durante muchos siglos ( de hecho sigue siendo) y necesitaban una manera cómoda se podría decir para poder escribir los resultados. por ellos desarrollaron una simbología numérica que data del año 800 d.c.

poco años mas tarde aproximadamente el famoso matemático al-khwarizmi introdujo esta notación en el mundo científico árabe en su obra "sobre el calculo de numerales hindúes ".gracias a él se empezó a utilizar este sistema en la cultura árabe y sobre el año 900 su escritura se había desarrollado.

aproximadamente en el año 1000 llegó el turno de lo que hoy es España y en aquellas época era alándalus, que fue la puerta de entrada al continente Europeo de todas las innovaciones científicas provenientes del mundo árabe. la evolución de los números en esta región fue de poca mezcla de las dos anteriores.

y por ultimo,ya en el siglo xv ,la cercanía de los países árabes con italia y la creciente red comercial establecida entre ellos, hizo que fuera necesario llevar una contabilidad lo mas establecida posible,por lo que en Italia se adoptaron  los números árabes de la época.

por lo tanto,como hemos podido ver,nuestros numeros no tienen nada parecido con los ángulos ni con nada parecido, son solamente la evolución de la escritura de unos símbolos establecidos en la india.